【アトキンス物理化学第10版解答】第2章D・Eの演習問題を解説！

突然ですが、

と思っていませんか？

アトキンス物理化学は演習問題が沢山ありますが、解答書にも解答が記載されていない問題が沢山あるんですよね。

そこで、解答書には記載されていない演習問題の解説をしてみました！

この記事では、アトキンス物理化学(上)第10版2章D・E演習問題(b)の解答・解説をしていきます！

解答はアトキンス物理化学の解答書にも記載されていないので、これは筆者が求めた解答になります。計算ミスがあるかもしれないので、その点には注意してください！(計算ミスがあればご指摘いただければ幸いです。)

2章D

2D・1(b)

内圧${\pi _T}$は気体のモル体積${{V_m}^2}$とファンデルワールス定数$a$を用いて下記のように記述することが出来る。

${\pi _T} = \frac{a}{{{V_m}^2}}$

問題文より、気体のモル体積は完全気体とみなして求めることにより、

${V_m} = \frac{{RT}}{p} = \frac{{0.08206\,d{m^3}\,atm\,{K^{ – 1}}\,mo{l^{ – 1}} \times 298\,K}}{{1.00\,bar \times \frac{{1.000\,atm}}{{1.013\,bar}}}} = 24.77\,d{m^3}\,mo{l^{ – 1}}$

となる。よって、内圧は、

${\pi _T} = \frac{a}{{{V_m}^2}} = \frac{{6.775\,atm\,d{m^6}\,mo{l^{ – 2}}}}{{{{24.77}^2}\,d{m^6}\,mo{l^{ – 2}}}}$

≒$1.10 \times {10^{ – 2}}\,atm$

となる。

2D・2(b)

内部エネルギー変化量は、等温膨張過程であることを考慮して、

$dU = {\pi _T}dV$

と書ける。

よって、

$\Delta {U_m} = \int_{1.00}^{30.0} {\frac{a}{{{V_m}^2}}dV}$

$= – a\left[ {\frac{1}{{{V_m}}}} \right]_{1.00}^{30.0} = – \frac{a}{{30.0}} + a = \frac{{29.0}}{{30.0}}a$

$= \frac{{29.0}}{{30.0}}\,mol\,d{m^{ – 3}} \times 1.337\,atm\,d{m^6}\,mo{l^{ – 2}} \times \frac{{1.013 \times {{10}^5}\,Pa}}{{1.00\,atm}} \times \frac{{{m^3}}}{{{{10}^3}\,d{m^3}}}$

≒$131\,J\,mo{l^{ – 1}}$

である。また、

$w = – \int {pd{V_m}}$

$= – \int {\left( {\frac{{RT}}{{{V_m} – b}} – \frac{{{a^2}}}{{{V_m}^2}}} \right)d{V_m}} $

$= – \int {\left( {\frac{{RT}}{{{V_m} – b}}} \right)} d{V_m} – \int {\frac{{{a^2}}}{{{V_m}^2}}} d{V_m}$

$= – q + \Delta {U_m}$(熱力学第一法則)

であるので、

$q = \int_1^{30} {\left( {\frac{{RT}}{{{V_m} – b}}} \right)} d{V_m}$

$= RT\left[ {\ln \left( {{V_m} – b} \right)} \right]_1^{30}$

$= 8.314\,J\,mo{l^{ – 1}} \times 298\,K \times \ln \left( {\frac{{30.00 – 3.20 \times {{10}^{ – 2}}}}{{1.00 – 3.20 \times {{10}^{ – 2}}}}} \right)$

≒$8.50kJ\,mo{l^{ – 1}}$

となる。したがって、熱力学第一法則より、

$w = – q + \Delta {U_m} = – 8.505 \times {10^3} + 130.9$

≒$- 8.37\,kJ\,mo{l^{ – 1}}$

となる。

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2D・3(b)

まず、与えられたVの式をTで微分することにより、

${\left( {\frac{{\partial V}}{{\partial T}}} \right)_p} = V’\left( {3.7 \times {{10}^{ – 4}} + 3.04 \times {{10}^{ – 6}}T} \right)$

となり、310℃において、

${\left( {\frac{{\partial V}}{{\partial T}}} \right)_{p,310}}= {V_{298}}\left( {3.7 \times {{10}^{ – 4}} + 3.04 \times {{10}^{ – 6}} \times 310} \right)$

≒$ 1.31 \times {10^{ – 3}}\,{V_{298}}\,{K^{ – 1}}$

となる。また、

${V_{310}} = {V_{298}}\left( {0.77 + 3.7 \times {{10}^{ – 4}} \times 310 + 1.52 \times {{10}^{ – 6}} \times {{310}^2}} \right)$

≒$1.03{V_{298}}$

が成り立つ。したがって、膨張率の式に代入して、

$\alpha = \frac{1}{V}{\left( {\frac{{\partial V}}{{\partial T}}} \right)_p}$

$= \frac{1}{{1.03{V_{298}}}} \times 1.31 \times {10^{ – 3}}{V_{298}}$

≒$1.27 \times {10^{ – 3}}{K^{ – 1}}$

となる。

2D・4(b)

等温圧縮率は、

${\kappa _T} = – \frac{1}{V}{\left( {\frac{{\partial V}}{{\partial p}}} \right)_T}$

と書くことが出来るので、等温において、

$\frac{{dV}}{V} = – {\kappa _T}dp$

となる。また、体積は質量と密度を用いて、

$V = \frac{m}{\rho }$

と書けるので、両辺微分して、

$dV = – \frac{m}{{{\rho ^2}}}d\rho$

$= – \frac{V}{\rho }d\rho$

となる。したがって、

$\frac{{dV}}{V} = – \frac{{d\rho }}{\rho } = – {\kappa _T}dp$

が成り立つ。以上より、

$\frac{{d\rho }}{\rho } = 0.10 \times {10^{ – 2}} = {\kappa _T}dp$

$\therefore dp = \frac{{0.10 \times {{10}^{ – 2}}}}{{{\kappa _T}}} = \frac{{0.10 \times {{10}^{ – 2}}}}{{2.21 \times {{10}^{ – 6}}}}$

≒$4.5 \times {10^2}\,atm$

となる。

2D・5(b)

ジュールトムソン係数は、

${\mu _T} = – {C_p}\mu$

$ = – 37.11 \times 1.11$

≒$- 41.2J\,at{m^{ – 1}}\,mo{l^{ – 1}}$

となる。また、エンタルピーについて以下の式が成り立つ。

$dH = n{\left( {\frac{{\partial {H_m}}}{{\partial p}}} \right)_T}dp$

$= n{\mu _T}dp$

したがって、供給すべき熱エネルギーは、

$q = \Delta H = 10.0 \times ( – 41.19) \times ( – 75)$

≒$31\,kJ$

となる。

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2章E

2E・1(b)

CO₂の自由度に関して、

並進自由度：3

回転自由度：2　(直線分子)

振動自由度：$3\times3-5=4$

である。したがって、振動の自由度を考慮しなかったときのモル定容熱容量とモル定圧熱容量は、

$C_{v,m}=\dfrac{1}{2}\left(3+2\right)R=\dfrac{5}{2}R$

$C_{p,m}=\dfrac{5}{2}R+R=\dfrac{7}{2}R$

この時の比熱比は、

$\gamma=\dfrac{7}{5}=1.40$

である。一方で、振動の自由度を考慮した時は、

$C_{v,m}=\dfrac{1}{2}\left(3+2+2\times4\right)R=\dfrac{13}{2}R$

$C_{p,m}=\dfrac{13}{2}R+R=\dfrac{15}{2}R$

より、比熱比は、

$\gamma=\dfrac{15}{13}=1.15$

となる。

CO₂の比熱比(25℃)の値は1.29(Wikiより)であるので、振動の自由度を考慮しない場合の方が近くなる。

2E・2(b)

断熱可逆膨張において、以下の式が成り立つ。

$T_{f}=T_{i}\left( \dfrac{V_{f}}{V_{i}}\right) ^{\dfrac{1}{c}}$

ここで、

$c=\dfrac{C_{v,m}}{R}=\dfrac{C_{p,m}-R}{R}$

である。

$c=\dfrac{C_{v,m}}{R}=\dfrac{C_{p,m}-R}{R}=\dfrac{37.11-8.3145}{8.3145}=3.463$

より、

$T_{f}=T_{i}\left( \dfrac{V_{i}}{V_{f}}\right) ^{\dfrac{1}{c}}$

$=298.15\times \left( \dfrac{0.500}{2.00}\right) ^{\dfrac{1}{3.463}}=199.8$

≒$200 K$

となる。

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2E・3(b)

まず、理想気体の状態方程式より、最初の体積を求めると、

$V_{i}=\dfrac{nRT}{p_{i}}$

$=\dfrac{2.5×8.314×325}{240}$

$=28.15\,dm^{3}$

となる。ここで、断熱可逆膨張より、

$P_{i}V_{i}^{\gamma}=P_{f}V_{f}^{\gamma}$

が成り立ち、

$\gamma=\dfrac{C_{p.m}}{C_{v,m}}=\dfrac{C_{p,m}}{C_{p.m}-R}$

$=1.666$

である。よって、最終の体積は、

$V_{f}=V_{i}\left(\dfrac{P_{i}}{P_{f}}\right)^{\dfrac{1}{\gamma}}$

$=28.15\times\left({\dfrac{240}{150}}\right)^{\dfrac{1}{1.666}}$

$=37.32\,dm^{3}$≒$=37.3\,dm^{3}$

となる。これを用いて、理想気体の状態方程式より、最終の温度は、

$T_{f}=\dfrac{150\times37.32}{2.5\times8.314}$

$=269.3\,K$≒$269\,K$

である。最後に、なされた仕事は断熱可逆膨張過程において、$C_{v}\Delta{T}$と書けるので、

$C_{v}\Delta{T}=\left(C_{p,m}-R\right)\times2.5\times\left(269.3-325\right)$

≒$-1.74\,kJ$

となる。

2E・4(b)

断熱可逆膨張より、最終の温度は、

$T_{f}=T_{i}\left(\dfrac{V_{i}}{V_{f}}\right)^{\dfrac{1}{c}}$

$c=\dfrac{C_{v,m}}{R}=\dfrac{\left(C_{p,m}-R\right)}{R}=2.503$

$T_{f}=296.15\times\left(\dfrac{0.400}{2.00}\right)^{\dfrac{1}{2.503}}$

$=155.7\,K$

である。したがって、なされた仕事は、

$C_{v}\Delta{T}=n\left(C_{p,m}-R\right)\Delta{T}$

$=\left(\dfrac{3.12}{28.013}\right)\times\left(29.125-8.314\right)\times\left(155.7-296.15\right)$

$=326\,J$

となる。

2E・5(b)

断熱可逆膨張より、最終圧力は、

$P_{f}=P_{i}\times\left(\dfrac{V_{i}}{V_{f}}\right)^{\gamma}$

$=97.3\times\left(\dfrac{0.4}{5.3}\right)^{1.3}$

$=3.64\,Torr$

となる。

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最後に

いかがでしたか？

今回は、アトキンス物理化学(上)第10版の2章D・E演習問題(b)の解答及び解説をしてきました。

演習問題を沢山解いてテストや院試で高得点を目指しましょう！

もし、この記事の人気があれば他の演習問題の解説・解答に関する記事も増やしていきたいと考えています！

ぜひ、参考にしてみてくださいね！