【アトキンス物理化学第10版解答】第1章Cの演習問題を解説！

突然ですが、

と思っていませんか？

アトキンス物理化学は演習問題が沢山ありますが、解答書にも解答が記載されていない問題が沢山あるんですよね。

そこで、解答書には記載されていない演習問題の解説をしてみました！

この記事では、アトキンス物理化学(上)第10版1章C 演習問題(b)の解答・解説をしていきます！

解答はアトキンス物理化学の解答書にも記載されていないので、これは筆者が求めた解答になります。計算ミスがあるかもしれないので、その点には注意してください！(計算ミスがあればご指摘いただければ幸いです。)

1章C

1C・1(b)

(ⅰ) $273.15\,K,\,22.414\,d{m^3}$

$p = \frac{{nRT}}{{\,V – nb\,}} – \frac{{\,a{n^2}\,}}{{{V^2}}} = \frac{{\,1.0\,mol \times 0.08206\,d{m^3}\,atm\,mo{l^{ – 1}}\,{K^{ – 1}} \times 273.15\,K\,}}{{\left( {22.414\, – 1.0 \times 0.0434} \right)\,d{m^3}}} – \frac{{4.484\,atm\,d{m^6}\,mo{l^{ – 2}} \times {{1.0}^2}\,mo{l^2}}}{{{{22.414}^2}\,d{m^6}}}$

≒$0.993\,atm$≒$0.99\,atm$

(ⅱ) $1000\,K,\,100\,c{m^3}$

$p = \frac{{nRT}}{{\,V – nb\,}} – \frac{{\,a{n^2}\,}}{{{V^2}}} = \frac{{\,1.0\,mol \times 0.08206\,d{m^3}\,atm\,mo{l^{ – 1}}\,{K^{ – 1}} \times 1000\,K\,}}{{\left( {0.100\, – 1.0 \times 0.0434} \right)\,d{m^3}}} – \frac{{4.484\,atm\,d{m^6}\,mo{l^{ – 2}} \times {{1.0}^2}\,mo{l^2}}}{{{{0.100}^2}\,d{m^6}}}$

≒$1.0 \times {10^3}\,atm$

となる。

1C・2(b)

$a = 1.32\,atm\,d{m^6}\,mo{l^{ – 2}} = 1.32\,atm\,d{m^6}\,mo{l^{ – 2}} \times \frac{{1.013 \times {{10}^5}\,kg\,{m^{ – 1}}\,{s^{ – 2}}}}{{1\,atm}} \times \frac{{{{10}^{ – 6}}\,{m^6}}}{{1\,d{m^6}}}$

≒$0.134\,kg\,{m^5}\,{s^{ – 2}}\,mo{l^{ – 2}}$

$b = 0.0436\,d{m^3}\,mo{l^{ – 1}} = 0.0436\,d{m^3}\,mo{l^{ – 1}} \times \frac{{{{10}^{ – 3}}\,{m^3}}}{{d{m^3}}}$

=$4.36 \times {10^{ – 5}}\,{m^3}\,mo{l^{ – 1}}$

となる。

1C・3(b)

圧縮因子は、

$Z = \frac{{{V_m}}}{{{V_m}^ \circ }} = \frac{{0.88{V_m}^ \circ }}{{{V_m}^ \circ }} = $0.88$ (ⅰ)

であり、$Z < 1$より引力が優勢である。またこの気体のモル体積は、

${V_m} = \frac{{ZRT}}{p} = \frac{{0.88 \times 0.0826\,d{m^3}\,atm\,mo{l^{ – 1}}\,{K^{ – 1}} \times 350\,K}}{{12\,atm}}$

≒$2.12\,d{m^3}$ (ⅱ)

となる。

1C・4(b)

${V_m}^ \circ = \frac{{RT}}{p} = \frac{{0.08314\,d{m^3}\,bar\,{K^{ – 1}}\,mo{l^{ – 1}} \times 298.15\,K}}{{200\,bar}}$

≒$0.124\,d{m^3}$

ファンデルワールス方程式

$p = \frac{{RT}}{{\,{V_m} – b\,}} – \frac{{\,a\,}}{{{V_m}^2}}$

を変形して、${V_m}$についてまとめると、

$\left( {{V_m} – b} \right){V_m}^2p = RT{V_m}^2 – \left( {{V_m} – b} \right)a$

${V_m}^3 – \left( {b + \frac{{RT}}{p}} \right){V_m}^2 + \left( {\frac{a}{p}} \right){V_m} – \frac{{ab}}{p} = 0$

となる。

ここで、各係数について、

$b + \frac{{RT}}{p} = 3.19 \times {10^{ – 2}}\,d{m^3}\,mo{l^{ – 1}} + \frac{{0.08314\,d{m^3}\,bar\,{K^{ – 1}}\,mo{l^{ – 1}} \times 298.15\,K}}{{200\,bar}}$

≒$0.1558\,d{m^3}\,mo{l^{ – 1}}$

$\frac{a}{p} = \frac{{1.352\,d{m^6}\,atm\,mo{l^{ – 2}}}}{{200 \times {{10}^5}\,Pa}} \times \frac{{1,013 \times {{10}^5}\,Pa}}{{1\,atm}}$

≒$6.848 \times {10^{ – 3}}\,d{m^6}\,mo{l^{ – 2}}$

$\frac{{ab}}{p} = \frac{{1.364\,d{m^6}\,atm\,mo{l^{ – 2}} \times 3.19 \times {{10}^{ – 2}}\,d{m^3}\,mo{l^{ – 1}}}}{{200 \times {{10}^5}\,Pa}} \times \frac{{1.013 \times {{10}^5}\,Pa}}{{1\,atm}}$

≒$2.204 \times {10^{ – 4}}\,d{m^9}\,mo{l^{ – 3}}$

より、

${V_m}^3 – 0.1558{V_m}^2 + 6.848 \times {10^{ – 3}}{V_m} – 2.204 \times {10^{ – 4}} = 0$

となる。この3次方程式を解くことにより、

${V_m} = 0.112\,d{m^3}\,mo{l^{ – 1}}$を得る。

1C・5(b)

ファンデルワールスの状態方程式より、$8.2\,mmol$の気体が占める体積は、

$V = \frac{{ZnRT}}{p} = \frac{{0.86 \times 8.2 \times {{10}^{ – 3}}\,mol \times 0.08206\,d{m^3}\,atm\,{K^{ – 1}}\,mo{l^{ – 1}} \times 300\,K}}{{20\,atm}}$

≒$8.7 \times {10^{ – 3}}\,d{m^3}$ (ⅰ)

となる。また、圧縮因子を第2ビリアル係数を用いて近似すると、

$Z \approx 1 + \frac{B}{{{V_m}}}$

と表せる。ここで、モル体積は、

${V_m} = \frac{{0.86 \times 0.08206\,d{m^3}\,atm\,{K^{ – 1}}\,mo{l^{ – 1}} \times 300\,K}}{{20\,atm}}$

≒$1.06\,d{m^3} = 1.06 \times {10^3}\,c{m^3}$

となる。よって、第2ビリアル係数は、

$B = – {V_m}(1 – Z) = – 1.06 \times {10^3} \times (1 – 0.86)$

≒$ – 1.5 \times {10^2}\,c{m^3}\,mo{l^{ – 1}}$ (ⅱ)

となる。

スポンサーリンク

1C・6(b)

臨界定数のうち2つを用いて、ファンデルワールスパラメーターを求めることを考える

ⅰ)${V_c}$と${p_c}$の時

${V_c} = 3b = 148\,c{m^3}\,mo{l^{ – 1}}$

$\therefore \,\,b$≒$49.33\,c{m^3}\,mo{l^{ – 1}}$ $=0.04933\,d{m^3}\,mo{l^{ – 1}}$

$a = 27{b^2}{p_c} = 27\, \times {\left( {0.049333} \right)^2}\,d{m^6}\,mo{l^{ – 2}} \times 48.20\,atm$

≒$3.167\,d{m^6}\,atm\,mo{l^{ – 2}}$

ⅱ)${V_c}$と${T_c}$の時

$b$≒$0.04933\,d{m^3}\,mo{l^{ – 1}}$

$a = 27{b^2}{p_c} = 27\, \times {\left( {0.049333} \right)^2}\,d{m^6}\,mo{l^{ – 2}} \times 48.20\,atm$

≒$3.167\,d{m^6}\,atm\,mo{l^{ – 2}}$

ⅲ)${p_c}$と${T_c}$の時

$a = 27{b^2}{p_c}$

$b = \frac{{8a}}{{27R{T_c}}} = \frac{{8 \times 27{b^2}{p_c}}}{{27R{T_c}}}$

$\therefore \,\,b = \frac{{R{T_c}}}{{8{p_c}}} = \frac{{0.082057\,d{m^3}\,atm\,{K^{ – 1}}\,mo{l^{ – 1}} \times 305.4\,K}}{{8 \times 48.20\,atm}}$

≒$0.06499\,d{m^3}\,mo{l^{ – 1}}$

$a = 27 \times {0.064990^2}\,d{m^6}\,mo{l^{ – 2}} \times 48.20\,atm$

≒$5.497\,d{m^6}\,atm\,mo{l^{ – 2}}$

(ⅰ)~(ⅲ)より、ファンデルワールスパラメーターの平均値を求めると、

$a = \frac{{3.167 + 4.172 + 5.497}}{3}$

≒$4.28\,d{m^6}\,atm\,mo{l^{ – 2}}$

$b = \frac{{0.04933 + 0.04933 + 0.06499}}{3}$

≒$0.0546\,d{m^3}\,mo{l^{ – 1}}$

また、ファンデルワールスパラメータと分子の体積について、以下の式が成り立つので、

$b \approx 4{V_{molecule}}{N_A} = 4 \times \frac{{4\pi {r^3}}}{3} \times 6.022 \times {10^{23}}\,mo{l^{ – 1}}$

$\therefore \,\,r = {\left( {\frac{{3 \times 0.05455\,d{m^3}\,mo{l^{ – 1}}}}{{16\pi \times 6.022 \times {{10}^{23}}\,mo{l^{ – 1}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}}$

≒$1.76 \times {10^{ – 9}}\,dm$=$0.176\,nm$

となる。

1C・7(b)

ボイル温度${T_B}$とは、$Z \to 1$すなわちビリアル定数$B = 0$が成立する温度のことです。ファンデルワールスの状態方程式を変形して、ボイル温度とファンデルワールス定数の関係を導きましょう！

ファンデルワールスの状態方程式を変形して、

$p = \frac{{RT}}{{{V_m} – b}} – \frac{a}{{{V_m}^2}} = \frac{{RT}}{{{V_m}}}\left( {\frac{1}{{1 – \frac{b}{{{V_m}}}}} – \frac{a}{{RT{V_m}}}} \right)$

ここで、$\frac{b}{{{V_m}}} < < 1$であり、

${\left( {1 – x} \right)^{ – 1}} = 1 + x + {x^2} + \cdots \,\,(x < < 1)$

を用いることにより、

$p \approx \frac{{RT}}{{{V_m}}}\left[ {1 + \left( {b – \frac{a}{{RT}}} \right)\frac{1}{{{V_m}}} + \cdots } \right]$

よって、$Z = 1 + \left( {b – \frac{a}{{RT}}} \right)\frac{1}{{{V_m}}} + \cdots $であり、$B = b – \frac{a}{{RT}}$と表せる。

ボイル温度${T_B}$とは、$Z \to 1$すなわちビリアル定数$B = 0$が成立する温度のことであるから、

$B = b – \frac{a}{{R{T_B}}} = 0$

$\therefore {T_B} = \frac{a}{{bR}} = \frac{{4.484\,atm\,d{m^6}\,mo{l^{ – 2}}}}{{4.34 \times {{10}^{ – 2}}\,d{m^3}\,mo{l^{ – 1}} \times 0.08206\,d{m^3}\,atm\,{K^{ – 1}}\,mo{l^{ – 1}}}}$

≒$1.26 \times {10^3}\,K$

となる。

また、前問と同様に、

$b \approx 4{V_{molecule}}{N_A} = 4 \times \frac{{4\pi {r^3}}}{3} \times 6.022 \times {10^{23}}\,mo{l^{ – 1}}$

であるから、

$\therefore \,\,r = {\left( {\frac{{3 \times 4.34 \times {{10}^{ – 2}}\,d{m^3}\,mo{l^{ – 1}}}}{{16\pi \times 6.022 \times {{10}^{23}}\,mo{l^{ – 1}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}}$

≒$1.63\, \times {10^{ – 9}}\,dm$ =$0.163\,nm$

となる。

1C・8(b)

25 ℃におけるN₂の換算温度と換算圧力は、

${T_r} = \frac{{298.15}}{{126.3}}$ $= 2.361$

${p_r} = \frac{{1.0}}{{33.54}}$ $= 0.0298$

である。

よって、

${T_{H2S}} = {T_r}{T_c} = 2.361 \times 373.5$

≒$882\,K$

${p_{H2S}} = {p_r}{p_c} = 0.0298 \times 88.8$

≒$2.6\,atm$

${T_{CO2}} = {T_r}{T_c} = 2.361 \times 304.2$

≒$718\,K$

${p_{CO2}} = {p_r}{p_c} = 0.0298 \times 72.85$

≒$2.2\,atm$

${T_{Ar}} = {T_r}{T_c} = 2.361 \times 150.72$

≒$356\,K$

$p = {p_r}{p_c} = 0.0298 \times 48.00$

≒$1.4\,atm$

となる。

1C・9(b)

ファンデルワールス方程式を$b = \cdots $の式に変形して求めましょう！

ファンデルワールス方程式

$p = \frac{{RT}}{{{V_m} – b}} – \frac{a}{{{V_m}^2}}$

を変形すると、

$b = {V_m} – \frac{{RT}}{{\left( {p + \frac{a}{{{V_m}^2}}} \right)}}$

となる。

よって、

$b = {V_m} – \frac{{RT}}{{\left( {p + \frac{a}{{{V_m}^2}}} \right)}} = 4.00 \times {10^{ – 4}}\,{m^3}\,mo{l^{ – 1}} – \frac{{8.314\,J\,{K^{ – 1}}\,mo{l^{ – 1}} \times 288\,K}}{{4.0 \times {{10}^6}\,Pa + \frac{{0.76\,{m^6}\,Pa\,mo{l^{ – 2}}}}{{{{\left( {4.00 \times {{10}^{ – 4}}} \right)}^2}\,{m^6}\,mo{l^{ – 2}}}}}}$

≒$1.26 \times {10^{ – 4}}\,{m^3}\,mo{l^{ – 1}}$≒$1.3 \times {10^{ – 4}}\,{m^3}\,mo{l^{ – 1}}$

である。また、圧縮因子は、

$Z = \frac{{pV}}{{RT}} = \frac{{4.0 \times {{10}^6}\,Pa \times 4.00 \times {{10}^{ – 4}}\,{m^3}\,mo{l^{ – 1}}}}{{8.314\,J\,{K^{ – 1}}\,mo{l^{ – 1}} \times 288\,K}}$

≒$0.67$

となる。

スポンサーリンク

最後に

いかがでしたか？

今回は、アトキンス物理化学(上)第10版の1章B演習問題の解答及び解説をしてきました。

演習問題を沢山解いてテストや院試で高得点を目指しましょう！

もし、この記事の人気があれば他の演習問題の解説・解答に関する記事も増やしていきたいと考えています！

ぜひ、参考にしてみてくださいね！